Bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung có thể đặt ra dưới dạng sau:
cho
-Bản vẽ (có các thông tin hình học là kích thước, liên kết),
-Vật liệu (các hằng số vật liệu như modun đàn hồi, hệ số Poisson...),
-Tải trọng đặt lên vật.
-Vật liệu (các hằng số vật liệu như modun đàn hồi, hệ số Poisson...),
-Tải trọng đặt lên vật.
Tìm
-Nội lực, ứng suất để trả lời câu hỏi về độ bền.
-Chuyển vị, biến dạng để trả lời câu hỏi về độ cứng của kết cấu.
-Chuyển vị, biến dạng để trả lời câu hỏi về độ cứng của kết cấu.
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method, viết tắt là FEM) là một phương pháp số tìm dạng gần đúng của một hàm (chuyển vị) chưa biết trong miền xác định V của nó. Tuy nhiên, FEM không tìm dạng xấp xỉ của nó trên toàn miền V mà chỉ tìm trong từng miền con (phần tử) của nó. Trong phạm vị mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ theo một dạng phân bố xác định nào đó cho đơn giản. Từ đó ẩn hàm cần tìm có thể được xác định trên các miền phức tạp với nhiều điều kiện biên khác nhau.
Nói tóm lại tư duy chung của FEM là tư duy Decomposition: thay thế cái phức tạp bằng hữu hạn phần tử con đơn giản và đơn giản hóa cả việc kết nối chúng.
-Chia cắt mIền khảo sát ra thành hữu hạn các miền con (phần tử) nhờ phương pháp mặt cắt để có mỗi phần tử riêng rẽ chịu tác dụng của các lực nút (rõ hơn là các nội lực xuất hiện trên các mặt cắt được quy về các nút của phần tử). Gọi f là các lực nút, v là các chuyển vị nút. Nghiên cứu điều kiện cân bằng cho lực, liên tục cho chuyển vị
và tương tác đàn hồi của phần tử cho ta quan hệ ở nút
f = k.v (1)
Ma trận vuông k gọi là ma trận độ cứng phần tử phụ thuộc vào kích thước phần tử (có thể xác định qua những tọa độ nút với ma trận hình học) và vật liệu (có thể gói vào ma trận vật liệu D nối quan hệ ứng suất-biến dạng).
f = k.v (1)
Ma trận vuông k gọi là ma trận độ cứng phần tử phụ thuộc vào kích thước phần tử (có thể xác định qua những tọa độ nút với ma trận hình học) và vật liệu (có thể gói vào ma trận vật liệu D nối quan hệ ứng suất-biến dạng).
-Nối các các phần tử đó lại. Nếu là các phần tử dây hay thanh thì nút nối hai phần tử là bình thường vì không có cách nào khác nhưng nếu là miếng hay khối thì người ta có thể ghép nối các phần tử bằng cách dán cạnh (hay bề mặt) hay bằng cách trong PPPTHH là chỉ nối ở một số điểm nút. Như vậy hai khái niệm đặc trưng cho PPPTHH chính là Phần tử và Nút. Nếu xét bài toán không phải là hệ thanh thì còn một thuật ngữ hay dùng là Lưới. Xét điều kiện cân bằng cho toàn vật dưới tác dụng của các lực đặt vào các nút gồm cả các ngoại lực r, nội lực và điều kiện liên tục chuyển vị V cho các nút được nối các phần tử với nhau ta có quan hệ
r = K.V (2)
Như vậy hai kho thông tin về kích thước và vật liệu của đối tượng đặc trưng trong PPPTHH chính là ma trận độ cứng phần tử k, và ma trận độ cứng toàn vật K.
r = K.V (2)
Như vậy hai kho thông tin về kích thước và vật liệu của đối tượng đặc trưng trong PPPTHH chính là ma trận độ cứng phần tử k, và ma trận độ cứng toàn vật K.
-Giải phương trình đại số (2) với các ẩn số là các chuyển vị nút (nơi nút có liên kết, ẩn số còn có thể là ngoại lực, cụ thể là phản lực liên kết).
Các thuật ngữ và khái niệm chính
+ Phần tử (element) là các miền con thuộc miền V của trên cấu. Do yêu cầu của phương pháp, miền V phải được rời rạc hóa thành các phần tử.
+Nút (node hay joint) là các điểm định trước trên biên phần tử mà thông qua các
nút này mà các phần tử được nối với nhau tạo thành một miền liên tục.
+ Hàm xấp xỉ (approximation function) biễu diễn dạng phân bố của ẩn hàm cần tìm
theo một quy luật nào đó trong phạm vi từng phần tử.
+ Vectơ chuyển vị nút phần tử e ( hay vectơ bậc tự do của phần tử) chính là tập
hợp tất các bậc tự do của các nút thuộc về phần tử đó.
+ Vectơ chuyển vị nút kết cấu q (hay vectơ chuyển vị nút tổng thể) chính là tập
hợp tất cả các bậc tự do của tất cả các nút trong kết cấu.
+ Vectơ các tham số {a} (hay vectơ các tọa độ tổng quát) là các tham số của hàm xấp xỉ. Theo FEM, các tham số này sẽ không được tính trực tiếp mà sẽ được biểu diễn qua vectơ chuyển vị nút của phần tử.
+ Các khái niệm hàm dạng [N] (shape function), ma trận độ cứng [K] (stiffness matrix), vectơ tải {P} (load vector)...
+Nút (node hay joint) là các điểm định trước trên biên phần tử mà thông qua các
nút này mà các phần tử được nối với nhau tạo thành một miền liên tục.
+ Hàm xấp xỉ (approximation function) biễu diễn dạng phân bố của ẩn hàm cần tìm
theo một quy luật nào đó trong phạm vi từng phần tử.
+ Vectơ chuyển vị nút phần tử e ( hay vectơ bậc tự do của phần tử) chính là tập
hợp tất các bậc tự do của các nút thuộc về phần tử đó.
+ Vectơ chuyển vị nút kết cấu q (hay vectơ chuyển vị nút tổng thể) chính là tập
hợp tất cả các bậc tự do của tất cả các nút trong kết cấu.
+ Vectơ các tham số {a} (hay vectơ các tọa độ tổng quát) là các tham số của hàm xấp xỉ. Theo FEM, các tham số này sẽ không được tính trực tiếp mà sẽ được biểu diễn qua vectơ chuyển vị nút của phần tử.
+ Các khái niệm hàm dạng [N] (shape function), ma trận độ cứng [K] (stiffness matrix), vectơ tải {P} (load vector)...
Những câu hỏi và trả lời
- Trong nhiều sách, cả trong Wikipedia có viết Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân riêng phần cùng với các điều kiện biên cụ thể. Điều đó có phù hợp với phần viết ở trên không?
Trả lời: đó là cách nhìn của một số người giải toán mà hẹp hơn là giải các bài toán của phương trình vi phân riêng phần cùng với các điều kiện biên cụ thể. Thực ra quan niệm đó tuy hẹp nhưng mang tính lịch sử được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi mô tả bởi các phương trinh phân riêng phần như trong các công trình của Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Bài toán uốn dầm có phương trình vi phân là đạo hàm thường nhưng được giải bằng Phương pháp phần tử hữu hạn.
PPPTHH dùng trong các bài toán có tương tác giữa các đại lượng dạng Flow (có tính liên tục) và Effort (có tính cân bằng) như trong điện, nhiệt, cơ....
-Khi có tải trọng tập trung, có thể lấy điểm đặt lực làm nút. Khi tải trọng phân bố thì sao?
Trả lời: đơn giản nhất là gom các tải trọng phân bố thành các tải trọng tập trung.
Chia đối tượng ra các phần tử nên theo cách nào?
Trả lời: Dựa vào các nút hình học là tập hợp n điểm trên miền để chia miền rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử có dạng đơn giản hơn và phải thoả mãn hai qui tắc sau:
Trả lời: Dựa vào các nút hình học là tập hợp n điểm trên miền để chia miền rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử có dạng đơn giản hơn và phải thoả mãn hai qui tắc sau:
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt
- Tập hợp tất cả các phần tử phải tạo thành một miền càng gần với miền cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử. Điểm nào trên miền có yêu tố tập trung tất nhiên được lấy là nút. Nơi nào quan trọng nên chia lưới mịn hơn.
Giải thích thêm về lực nút phần tử, sao chỉ là nội lực, còn tải trọng tập trung nếu có thì sao?
Trả lời: Tải trọng tập trung là yếu tố tác dộng bên ngoài. Khi xét ma trận độ cứng (phần tử, toàn vật) ta chỉ xét tố chất riêng nó có là kich thước, vật liệu, những thứ tạo nên sức khỏe, độ cứng của phần tử thôi. Nghĩa là chưa đến lượt tải trọng cũng như điều kiện liên kết vật với giá. Còn nội lực ở nút phải tinh đến vì đã dùng phương pháp mặt cắt để chia tạo phần tử.
Nhắc lại điều cơ bản trong cơ học vật rắn biến dạng là nội lực và phương pháp mặt cắt
-Tưởng tượng cắt vật làm đôi và bỏ đi nửa B.
-Thay tác động cơ học của B vào phần còn lại A bằng Nội lực đặt lên trọng tâm mặt cắt.
-Nửa A cân bằng dưới tác dụng của các lực đặt vào nó gồm ngoại lực có trước ở phần A và nội lực đang xét trên mặt cắt cũng chính là phần ngoại lực mới thay cho tác động cơ học của phần B lên A. Tất nhiên nó cũng là tác động của lên B nhưng theo chiều ngược lại.
-Nửa A cân bằng dưới tác dụng của các lực đặt vào nó gồm ngoại lực có trước ở phần A và nội lực đang xét trên mặt cắt cũng chính là phần ngoại lực mới thay cho tác động cơ học của phần B lên A. Tất nhiên nó cũng là tác động của lên B nhưng theo chiều ngược lại.
Những khối tính toán của chương trình trên MT?
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối sau:
- Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt...), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);
- Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
- Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ ngoại lực nút F (tải nút, phản lực) chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);
- Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên nối vật và giá đõ.
- Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung.
- Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v…);
- Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu.
- Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
- Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ ngoại lực nút F (tải nút, phản lực) chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);
- Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên nối vật và giá đõ.
- Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung.
- Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v…);
- Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu.
Vì sao PPPTHH được coi là phương pháp mang tính công nghiệp?
Công nghiệp khác thủ công ở chỗ tạo ra các modun (sản xuất hàng loạt) rồi lắp ráp vào hệ thống chung. Đó chính là các modun k và lắp ráp vào K thỏa mãn điều kiện cân bằng cho lực và liên tục cho chuyển vị ở các nút. Điều này cũng tương tự như thi công xây nhà lắp ghép bằng những bloc-modun chế tạo sẵn ở nhà máy và nối với nhau ở các nút. Các ma trận độ cứng phần tử đại diện được cho trong các sách và tài liệu chuyên môn. Các thành phần của k được chuyển vào K theo đúng các chỉ số của chuyển vị nút theo bảng định vị index cho mỗi phần tử.
Ý nghĩa các hệ tọa độ trong PPPTHH
Có hệ tọa độ địa phương cho mỗi phần tử và hệ tọa độ tổng thể chung cho toàn vật. Có thể lấy ví dụ Hệ tọa độ tổng thể như một cái kho chung có 10 ô (n = 10). Mỗi ô, được xếp theo thứ tự từ 1 đến 10, chứa một loại hàng. Hệ tọa độ địa phương là những xe chở hàng, mỗi xe chỉ có 4 ô. Mỗi ô, cũng được xếp theo thứ tự, chứa một loại hàng. Lần lượt dỡ chuyển hàng từ các xe (ví dụ 8 xe) để xếp loại nào vào ô ấy trong kho chung. Ở đây đơn giản là theo tên loại hàng ứng với thứ tự của nó trong xe để tìm thứ tự của nó trong kho, còn trong FEM là theo chỉ số chuyển vị nút để cho một thành phần của k vào vị trí xác định trong K.
(đang viết)
------------------
(đang viết)
------------------
Tài liệu PDF
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét