ABC-Ứng Dụng Nguyên Lý Cực Đại Trong Tính Toán Dầm Tối Ưu

Click xem các tên bài viết   http://tranductrungabc.blogtiengviet.net/disp/cat  
------------------------------------------------------------------------------
Đề Tài NCKH “Tối ưu hóa kết cấu sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin”
Mã số: 107.02-2012.03 (04-Cơ học) được tài trợ bởi Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia Việt Nam (NAFOSTED)
Bài 4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

Giới Thiệu Về Lev Semenovich Pontryagin (Tiếng Nga: Лев Семёнович Понтря́гин) (3 September 1908 – 3 May 1988) Và Nguyên Lý Cực Đại

Ông là một nhà toán học Nga, bị mất thị lực lúc 14 tuổi. Ông nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu về tính tương đồng khi còn là sinh viên, đặt nền móng cho lý thuyết trừu tượng của biến đổi Fourier, mà ngày nay được gọi là tính đối ngẫu Pontryagin. Trong lĩnh vực hình học topos ông đưa ra vấn đề cơ bản về lý thuyết đồng đều trong dẫn tới lý thuyết các lớp đặc trưng, mà ngày nay được gọi là các lớp Pontryagin, được thiết kế để triệt tiêu đa tạp là biên. Ngoài ra, trong lý thuyết toán tử cũng có những trường hợp đặc biệt của không gian Krein được gọi là không gian Pontryagin.

Nguyên lý cực đại của ông là cơ sở cho lý thuyết tối ưu hiện đại. Thực ra ông không chứng minh nguyên lý. Trong khi các nhà bác học khác đi tìm điều kiện cần thiết đảm bảo cho một quá trình tối ưu với điều khiển được thay đổi trong miền đóng chủ yếu dựa vào những công cụ của toán học truyền thống là phép biến phân cổ điển thì thiên tài của ông lại mách bảo là hàm Hamilton = max. Hàm H đó không xa lạ với các nhà vật lý, các nhà toán học và các nhà cơ giải tich nhưng nó lại có tính chất cực đại để lựa chọn điều khiển tối ưu lại là điều bất ngờ. Hàm H ( Y, L, P, U, t ) gồm 5 yếu tố:

- Y(t) là các biến trạng thái của quá trinh động lực (tuân theo hệ phương trình vi phân đạo hàm thường theo thời gan t).

- L(t) là các biến trạng thái liên hợp (có thể hiểu như những biến nhân tử suy rộng Lagrange trong bài toán cực trị vướng).

- P là các tham số không phụ thuộc t

- U(t) là điều khiển phụ thuộc thời gian mà ta cần xác định quy luật

- t thời gan

Như vậy chương trình giải bài toán tối ưu theo quan niệm lựa chọn quy luật điều khiển trong một miền đóng để đưa trạng thái đối tượng từ thời điểm đầu đến trạng thái cuối tối ưu, nghĩa là làm cực tiểu một hàm mục tiêu chứa các biến trạng thái cuối đó (phiếm hàm Maier) gồm các Modun sau:

- Modun giải hệ phương trình vi phân đạo hàm thường (Mgt) với những điều kiện có thể có ở cả hai thời điểm đầu và cuối.

Có thể chỉ cần thỏa mãn gần đúng các điều kiện đó theo mục tiêu bình phương tối thiểu với phương pháp lặp theo chiều ngược của Gradient. Như vậy trong Mgt có Gra (Modun Gradient) và trong Gra có Rkt - Modun giải hệ phương trình vi phân đạo hàm thường có các điều kiện đầu theo phương pháp Runge Kutta.

(Xem Gradient trong Matlab theo http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/gradient.htm vàphương pháp Runge Kutta theo http://sriramsgsr.wordpress.com/2008/05/16/matlab-code-for-runge-kutta-4th-order/)

- Modun tim cực đại hàm một biến (Mcd) thực chất là chọn giá trị điều khiển U trong miền [ U*, U** ]. Đơn giản là chia ra 10 giá trị U* + k.d, với k = 0, 1,.. 9, d = ( U** - U* ) / 10 bằng cách so sánh loại trừ.

Nhận xét:

- Nếu hàm H là một tổng các hàm thì ta chỉ quan tâm đến những số hạng có chứa đại lượng điều khiển. Trường hợp chỉ có một số hạng chứa điều khiển H = H* (Y, L, P, t) + z(t) U(t) ta có điều khiển dạng On - Of (điều khiển bang-bang), điều khiển U tại thời điểm t có dạng U(t) = (U** + U*)/ 2 + sign[ z(t)] (U** - U*)/ 2

- Điều khiển On - Of cũng có thể xuất hiện nều hàm H là lõm , H''(U) > 0

Bài toán dầm có độ cứng lớn nhất (mũi tên võng nhỏ nhất) chịu uốn dưới tác động của trọng lượng riêng

Đặt bài toán

- Xác định sơ bộ các tham số đầu vào của đối tượng bằng kinh nghiệm. Coi đó là giải pháp gốc. Ví dụ như sơ bộ có cái dầm chìa nằm ngang dài L, vật liệu thép có modun đàn hồi E, trọng lượng riêng G, mặt cắt ngang hình chữ nhật có diện tích H.A* = const.

- Xác định một đặc tính đầu ra ví dụ là độ võng đầu tự do V.

- Xác định tham số đầu vào có thể thay đổi để giảm độ võng, ví dụ lấy cạnh đáy là A(x) trong miền [A*- A*/10, A* + A*/10] để giảm V. Nghĩa là chọn A(x) là điều khiển U(t).

Giải bằng phương pháp quét hết các điểm tạo miền giải pháp khả thi trong mặt phẳng

Có miền giải pháp khả thi có thể tìm điểm cực biên là lời giải tối ưu.

Thực hiện các bước sau:

- Rời rạc hóa dầm thành n đoạn có chiều dài l = L / n. Ví dụ n = 10, mỗi đoạn có mặt cắt ngang không đổi với giá trị thuộc [A*- A*/10, A* + A*/10] để giảm V.

- Xây dựng Modun bài toán thuận (BTT) với tham số đầu vào là 10 giá trị cạnh đáy mặt cắt ngang của các bậc dầm, đầu ra là V. Có thể sử dụng Mgt nhưng tốt hơn là xây dựng riêng BTT theo phương pháp phần tử hữu hạn.

-Xây dựng Modun vẽ (Plot) điểm M(V,K) với K là số thứ tự lần vẽ, V là chuyển vị.

-Xét 9 giá trị rời rạc A*- A*/10, A* - 3A*/40, A* - A*/20,A* - A*/40, A*, A*+ A*/40, A* + A */20, A* + 3A*/40, A* + A*/10.

- Quét hết phương án giá trị mặt cắt ngang cho 10 đoạn thanh cùng với lần lượt đếm K. Cho mỗi phương án gọi BTT rồi Point.

- Tim giải pháp tối ưu trên hình vẽ theo trục V và từ đó ước lượng K.

- Chạy lại chương trình. Cho thêm lệnh ở lân cận K ước lượng được xuất các số liệu cần thiết.

Chính xác hóa lời giải bằng phương pháp Gradientl

-Xây dựng hàm mục tiêu suy rộng có các hàm phạt.

- Xây dựng hàm mục tiêu với 10 biến số là diện tích mặt cắt ngang các bậc (thay các vi phân bằng sai phân).

-Thực hiện chương trình tìm kiếm cực tiểu nhờ Gra với điều kiện dừng do ta chọn.

Giải bằng Nguyên Lý Cực Đại Pontryagin

------------------
Phát biểu bài toán dưới dạng bài toán điều khiển một điểm trong không gian trạng thái (chuyển vị V, góc xoay φ, moment uốn M, lực cắt Q) từ điểm đầu có chuyển vị, góc xoay bằng 0 đến điểm cuối có moment uốn, lực cắt triệt tiêu với một khoảng đường là độ dài L của thanh sao cho V(L) = min (dầm cứng nhất).

Hệ động lực ( hệ phương trình vi phân trạng thái) có dạng

V' = φ
φ' = - M/(EcA)
M' = Q
Q' = - qA

Với điều kiện trạng thái đầu và cuối

V(0) = φ(0) = 0
M(L) = Q(L) = 0

Sao cho V(L) = max (#)

Ở đây c là hằng số trong công thức tính moment quán tính đối với trục ngang của mặt cắt. 

Các bước :

-a/ Lập hàm Hamilton.

H = V'.B + φ'.C + M'.D + Q'.G= B.φ - C.M/(EcA) + D.Q - G.qA

-b/ Viết hệ phương trình vi phân liên hợp và điều kiện biên

B' = 0
C' = -B
D' = C/(EcA)
G' = -D

D(0) = G(0) = C(L) = 0, B(L) = -1

Có thể suy ra B = -1, C = x - L không dương, từ đó D cũng không dương và kết quả là G không âm. Ngoài ra M không dương. Như đã viết ở phần nhận xét trên, chỉ giữ lại các số hạng phụ thuộc điều khiển ta có

H = -C.M/(EcA) - G.qA = - Abs(a)/ A - Abs(b) A.

Đây là hàm số lồi nghĩa là giá trị H (A) = max có thể đạt ở biên A* (ứng với đoạn đầu có ngàm) và A**(ứng với đoạn sau tự do) và cả trong miền [A*, A**]

Chú ý: điều kiện cần tối ưu H = max có thể thực hiện bằng phương pháp số nhưng việc phân tich dạng của hàm H cũng cần thiết ví duy như giải pháp bang-bang xảy ra khi Hamilton là tuyến tính đối với điều khiển ví dụ H = H* + c U thì U nhận giá trị trên hay dưới của điều khiển tùy thuộc vào dấu c

-c/ Chọn điều khiển xuất phát A = A*. Giải hai hệ phương trình vi phân trên bằng Mgt.

-d/ Xét 9 giá trị rời rạc A*- A*/10, A* - 3A*/40, A* - A*/20,A* - A*/40, A*, A*+ A*/40, A* + A */20,
A* + 3A*/40, A* + A*/10.

-e/ Quét hết phương án giá trị mặt cắt ngang cho 10 đoạn thanh với các giá trị biến trạng thái của hai hệ thuận, liên hợp sao cho H = max. Kết quả cho giá trị điều khiển A ở 10 mặt cắt ngang.

- h/ Lặp lại bài toán từ bước c với điều khiển chọn được cho đến khi sai lệch hai bước liên tiếp là nhỏ. Kinh nghiệm cho thấy ứng dụng nguyên lý cực đại quá trình lặp hội tụ khá nhanh.

Ví dụ số

Cho dầm thép Conxon dài 100 cm, mặt cắt ngang hình chữ nhật chiều cao 1cm, chiều rộng A(x) thuộc [ 15, 16 ] cm. Tải trọng phân bố dọc chiều dài dầm là q (N / cm).

-Xác định A(x) cho mũi tên võng V = min khi không có q.

- Khảo sát ảnh hưởng q đến lời giải.

-Xét bài toán cho trường hợp dầm yếu nhất V = max.

-Xét bài toán với hai mục tiêu: độ võng và khối lượng dầm nhỏ nhất.

============ Click xem các tên bài viết
  http://tranductrungabc.blogtiengviet.net/disp/cat